Mass und Zahl im Kunstwerk - 3 (1954th edition)

Die beiden ersten Untersuchungen konnen also am vegetabilischen und geometrischen Ornament vorgenommen werden, die dritte hingegen ist nur am geometrischen Ornament moglich, da die Teilformen des vegetabilischen Ornaments nicht mathematisch konstruiert sind.

Die beiden ersten Be- trachtungen konnen nur mit gruppentheoretischen Erwagungen sinnvoll durchgefuhrt werden.

So mussen wenigstens die Postulate des Gruppen- begriffs bekannt sein.

Auf eine eingehende Untersuchung der Gruppe mu allerdings hier verzichtet werden, da sie in das Gebiet der hoheren Mathe- matik gehort.

Postulate: 1. Ein System von Elementen A, B, C, D, . .. bildet eine Gruppe, wenn eine bestimmte Zusammensetzung zweier Elemente immer ein Element des Systems ergibt, oder, vielleicht klarer, wenn einem geordneten Paar von diesen Elementen immer ein Element des Systems zugeordnet ist, das man das Produkt der beiden Elemente nennt (AB = Cl. (Beispiel: A = Drehung um 900, B = Drehung um 1800, C = Drehung um 2700.) 2.

Es gilt die Gleichung (AB)C = A (BC), aber nicht unbedingt AB = BA.

Drucke diese Forderungen mit Worten aus. 3. Es gibt in jeder Gruppe einEinheitselement, fur das gilt: A E =E A = A (s.

Beispiel aus 1.: E = Drehung um 3600). 4. Es gibt zu jedem Element A ein inverses Element A-l, fur das gilt AA-l = E (s.

Beispiel aus 1.: A-l = Cl. Definitionen: 1. Die Anzahl der Elemente einer endlichen Gruppe nennt man die Ordnung der Gruppe.